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Artículo científico
Aprendizaje de las ecuaciones diferenciales ordinarias mediado con GeoGebra
Learning ordinary differential equations
mediated with GeoGebra
https://orcid.org/0000-0002-7177-8835
Recibido 12/10/2023
Aceptado 20/01/2024
Publicado 25/05/2024
Referencia del artículo
Guerra Cáceres, M. E. (2024). Aprendizaje de las ecuaciones diferenciales ordinarias mediado con GeoGebra. Revista Guatemalteca de Educación Superior, 7(1), 96–112. https://doi.org/10.46954/revistages.v7i1.128
PROBLEMA: en la educación matemática es de interés describir los esquemas del estudiantado después de concluir secuencias de aprendizaje ad hoc. OBJETIVO: caracterizar los esquemas gráfico-algebraico del concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de los estudiantes después de concluir una secuencia de aprendizaje diseñada bajo un enfoque gráfico-algebraico mediado con GeoGebra. MÉTODO: la metodología utilizada es de naturaleza cualitativa y se reporta un estudio de casos a partir de datos obtenidos de un cuestionario y una entrevista semi estructurada realizada a un estudiante de licenciatura en matemáticas. Esta intervención fue realizada dieciocho semanas después de concluir la secuencia de aprendizaje. RESULTADOS: las producciones escritas y los extractos de la entrevista indican que el esquema del estudiante sobre el concepto solución de una ecuación se caracteriza por el predominio de acciones y procesos subordinados al modo de pensamiento algebraico y algorítmico, con presencia de interacciones y conexiones cognitivas débiles entre las rutas algebraica y gráfica. CONCLUSIÓN: el estudiante ha desarrollado un incipiente esquema gráfico-algebraico del concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, pero este esquema no se ha logrado consolidar como un objeto, puesto que la aplicación del esquema se limita a realizar las acciones y procesos que las rutas gráfica y algebraica demandan, con conexiones débiles entre ellas.
Palabras clave: esquemas, ecuaciones, ruta algebraica, ruta gráfica
Abstract
PROBLEM: in mathematics education it is of interest to describe the students’ schemas after concluding ad hoc learning sequences. OBJECTIVE: to characterize the graphical-algebraic schema of the concept of solution of a first-order ordinary differential equation of a student after concluding a learning sequence designed under a graphical-algebraic approach mediated with GeoGebra. METHOD: the methodology used is of a qualitative nature and reports a case study based on data obtained from a questionnaire and a semi-structured interview conducted with a bachelor’s degree student in mathematics. This intervention was carried out eighteen weeks after completing the learning sequence. RESULTS: the written productions and the interview excerpts indicate that the student’s schema regarding the concept solution of an equation is characterized by the predominance of actions and processes subordinated to the algebraic and algorithmic mode of thinking, with the presence of interactions and weak cognitive connections between the algebraic and graphical routes. CONCLUSION: the student has developed an incipient graphic-algebraic schema of the concept of solution of a first-order ordinary differential equation, but this schema has not been consolidated as an object, since the application of the schema is limited to carrying out the actions and processes that the graphical routes and algebraic demand, with weak connections between them.
Keywords: schemas, equations, algebraic route, graphic route
Introducción
En este artículo, parte de una investigación en el Programa de Doctorado en Educación de la Facultad Multidisciplinaria de Occidente de la Universidad de El Salvador, se aborda el problema de determinar con qué conocimientos y habilidades se queda el estudiantado después de concluir una secuencia de aprendizaje ad hoc sobre el concepto de solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden (EDOPO) diseñada bajo un enfoque gráfico-algebraico mediado con GeoGebra.
Hoy en día, existen enfoques de enseñanza y aprendizaje de las EDOPO que todavía privilegian los procedimientos algebraicos y no hacen uso adecuado de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (Arslan, 2010a; Arslan, 2010b; West, 2016). Por tanto, existe la necesidad de desarrollar estrategias didácticas que muestren cómo acomodar en la estructura cognitiva del estudiantado un esquema gráfico-algebraico sobre lo qué significa resolver una EDOPO (Raychaudhuri, 2013; Raychaudhuri, 2014).
Pero ello no es un proceso automático, ni se reduce al uso en el aula de los asistentes matemáticos como colofón de la clase tradicional. Para desarrollar aprendizajes significativos, autónomos y críticos, se requiere considerar el rol clave que juegan la mediación semiótica y la génesis instrumental de los objetos y métodos matemáticos (Trouche et al., 2018).
En este trabajo, se llama enfoque gráfico-algebraico al proceso resolución de una EDOPO por medio de la coordinación de las rutas gráfica y algebraica. En la ruta algebraica se aplican técnicas algebraicas y analíticas para determinar fórmulas para las soluciones y, a partir de ellas, dibujar el diagrama de soluciones. En la ruta gráfica se combinan técnicas geométricas y analíticas para analizar el comportamiento cualitativo de las soluciones, sin necesidad de resolver la ecuación, y construir el diagrama de soluciones (Guerra Cáceres, 2022).
La perspectiva subyacente en la estrategia didáctica es que la ruta gráfica y la ruta algebraica se complementan entre sí. Las representaciones gráficas ayudan a comprender el comportamiento de las soluciones generadas a partir de la fórmula. Y el análisis de la EDOPO permite comprender y describir gráficamente las soluciones de la ecuación sin necesidad de encontrar una fórmula para ellas. De manera que hay una simbiosis muy productiva entre ambas rutas que ofrece itinerarios didácticos muy atractivos e innovadores (Buendía & Cordero, 2013; Kouki & Griffiths, 2021; Hyland et al., 2021).
En consecuencia, el objetivo es analizar los esquemas formados por el estudiantado después de cursar una secuencia de aprendizaje de las EDOPO con un enfoque gráfico-algebraico mediado con GeoGebra (Diković, 2009a, Diković, 2009b; Orts et al., 2018). Durante esta secuencia, se realizaron acciones para movilizar los conocimientos previos de cálculo y acomodar en la estructura cognitiva del estudiante un esquema gráfico-algebraico sobre lo qué significa resolver una EDOPO, más allá de los procedimientos algebraicos tradicionales, y establecer conexiones entre la comprensión conceptual y procedimental.
Materiales y métodos
Se realizó un estudio de casos con un estudiante de quinto semestre de licenciatura en matemática. La intervención se llevó a cabo 18 semanas después de la secuencia de aprendizaje ad hoc. Para la recogida de información, se solicitó al estudiante resolver y entregar por escrito la resolución de un cuestionario con cuatro ejercicios. Posteriormente se realizó una entrevista semiestructurada grabada en video para discutir las respuestas anticipadas y explorar el funcionamiento de su esquema gráfico-algebraico. En el análisis de la entrevista se aplicó el método de análisis temático, teniendo en cuenta las habilidades para graficar el diagrama de soluciones a partir de: 1) las fórmulas obtenidas y 2) el análisis de la EDOPO, sin necesidad de encontrar una fórmula. También, se analizó la habilidad para inferir y probar simetrías en el conjunto de soluciones utilizando el diagrama de soluciones y GeoGebra.
Resultados
A continuación, se presentan los principales resultados del cuestionario y la entrevista. En primer lugar, se incluyen los referidos al uso y dificultades de la ruta algebraica; luego, los referidos al uso y dificultades de la ruta gráfica y, finalmente, los que tienen que ver con el establecimiento de simetrías en el conjunto de soluciones.
En el cuestionario se planteó resolver las EDOPO siguientes: a) dy/dx =2senx-y, b) dy/dx=y2-xy, , c) dy/dx=y-x2+2x+2 y d) dy/dx=xe-y, las cuales fueron resueltas de manera eficaz siguiendo la ruta algebraica. En los ejercicios a) y c), el estudiante identificó cada ecuación como lineal y aplicó la técnica del factor integrante. En el ejercicio b), identificó la ecuación como una de tipo Bernoulli y, mediante un cambio de variable dependiente, la redujo a una ecuación lineal. Y en el ejercicio d), aplicó el método de separación de variables.
Por tanto, el estudiante demuestra con ello que, después de 18 semanas de haber seguido la secuencia de aprendizaje, su esquema del concepto de solución de una EDOPO evoca sin dificultad los conocimientos y métodos algebraicos que la ruta algebraica demanda.
En la entrevista, se confirma además que el estudiante tiene la competencia discursiva para argumentar lo que ha realizado de manera algebraica. Sin embargo, se observan dificultades para representar gráficamente las soluciones a partir de la fórmula. Por ejemplo, se muestra estupefacto al preguntarle por el comportamiento cualitativo de las soluciones de los ejercicios a) y b) generadas a partir de las fórmulas. En el ejercicio a), se registra lo siguiente:
I: Está es la solución general del ejercicio a): y=sen(x)-cos(x)+Ce-x. ¿Qué podría decirme acerca del comportamiento cualitativo de las soluciones a partir de esta fórmula?
E1: De la fórmula … no tengo muy claro cómo sería la gráfica de esta función … pero digamos que tomando valores específicos …
I: ¿Qué tipo de curvas hay?
E1: (No pudo responder)
I: ¿Cuál es el comportamiento de la solución general cuando x tiende a más infinito o cuando tiende a menos infinito?
E1: Cuando tiende a más infinito veo que no se sabe que pasa con la relación, en realidad, por qué están esos seno y coseno … eso es indefinido cuando x tiende a más infinito. Y cuando x tiende a menos infinito … todo eso sigue definitivamente a infinito porque el término exponencial se hace positivo …
Y en el ejercicio b), expresa:
E1: Si, si, está fea la fórmula: y=(Cex2/2)-ex2/2) ∫e-x2/2) dx-1 … y el comportamiento gráfico, a ver … usando la fórmula, por ejemplo, cuando … entonces esa integral … bueno esa integral no se puede …
Lo anterior indica la presencia de las dificultades operacionales para poder describir gráficamente las soluciones a partir de las fórmulas. Para tratar de superar esas dificultades se invita al estudiante a utilizar GeoGebra. Con esta herramienta es capaz de dibujar un diagrama de soluciones para el ejercicio a); pero fracasa en hacerlo en el ejercicio b). Esto último es debido a la presencia en la fórmula de la solución general del término ∫ee-x2/2dx.
I: ¿Cómo podría usar GeoGebra para visualizar el comportamiento gráfico de las soluciones a partir de la formula obtenida y tratar, por ejemplo, de distinguir los distintos tipos de curvas? Podría abrir GeoGebra y lo vamos viendo.
E1: Está bien … permítame … creo que se trabo el GeoGebra … sí, sí, ahí está ya, digamos que tengo la solución … Aquí puedo elegir la constante de menos cinco a cinco … y así (moviendo el deslizador) es como yo veo las soluciones … aquí está un poco más clara … (obteniendo un dibujo dinámico de las soluciones).
I: ¿Qué tipo de comportamientos se observan?
E1: Sabemos que si el valor de es negativo, tenemos este comportamiento. Y si pasa a un valor positivo, tengo este otro comportamiento. Entonces, la frontera es esta, sí, supongo. Sería justamente en C =0 porque ahí es donde se me va ese término exponencial.
I: ¿Qué sucede cuando C =0?
E1: Solo queda esto, y(x)=sen(x)-cos(x), que es una función periódica en todo su dominio.
I: Puede aplicar la función “mostrar rastro” a la curva verde que tiene ahí dibujada, ¿no? Y mover el deslizador para ver cómo es el diagrama de solución.
E1: Si … así, sería … (obteniendo un diagrama de soluciones)
I: ¿Por qué razón aparecen esos dos tipos de curvas que están separadas por la curva (x)=sen(x)-cos(x)?
E1: Sí, cambia el comportamiento, digamos, habría que ver cuando la constante es negativa, que pasa con la concavidad de las soluciones ….
Al usar GeoGebra y la fórmula obtenida logra dibujar un diagrama de soluciones para el ejercicio a), pero se puede notar la ausencia de argumentos para justificar las propiedades de las soluciones que son patentes en dicho diagrama. Ello es debido a que no se da cuenta de que y(x)=sen(x)-cos(x) es una solución particular.
I: ¿Hay alguna solución particular?
E1: Si, cuando C= 0 hay una solución particular.
I: Precisamente, la que estamos viendo, ¿no?
E1: Si … esa, como por el límite sería.
I: Y si aplica el teorema de existencia y unicidad que obtiene.
E1: Como esta es una solución, las demás curvas no la tocan nada, no la van a cruzar, no la van a cruzar, por existencia y unicidad.
Al preguntarle por el lugar geométrico de los extremos de las soluciones se sorprende otra vez:
I: ¿Podría obtener dónde están apareciendo, digamos, los extremos, máximos y mínimos de esas curvas?
E1: Exactamente … digamos que de manera precisa no puedo identificar el lugar geométrico donde aparecen los extremos de las curvas o soluciones … en este caso parece ser como una especie de recta, pero no estoy seguro … pero habría que corroborarlo haciendo la respectiva derivación … los extremos aparecen en donde se acelera … donde se anula esa derivada ….
E1: La derivada sería cos(x)+sen(x)-Ce-x y la segunda derivada -sen(x)+cos(x)+Ce-x… y los extremos aparecen donde la derivada es cero y los máximos y mínimos los podemos determinar cuando la segunda derivada es cero …
Se observa que para encontrar el lugar geométrico de los extremos recurre al “esquema algebraico-gráfico” heredado del cálculo diferencial e integral, sin percatarse que ese modo de actuar es circular, puesto que al calcular la primera derivada obtiene la EDOPO dada: .
Ello indica que no es capaz de movilizar espontáneamente la ruta gráfica, la cual fue objeto de estudio en la unidad de aprendizaje.
E1: Estamos derivando directamente la solución, la fórmula para la solución, pero el derivar obtenemos la relación que ya está en la ecuación.
I: ¿Podría tratar de identificar cuál es el comportamiento cualitativo de las gráficas de las soluciones, sin usar la fórmula, es decir, sin resolver la ecuación?
E1: Vaya, pues … no recuerdo cuál era el método.
I: Observe que la ecuación dy/dx=2sen(x)-y nos da la derivada.
E1: Si, … cómo, qué, … ¿qué tendría que hacer ahora? … ¿resolverla? …
I: ¿Qué se le ocurre hacer para describir gráficamente las soluciones? ¿Qué herramientas podría utilizar?
E1: El campo de direcciones es una cosa … pero … si, si, ya, y aquí se ve el comportamiento de las curvas … esta es la primera cosa … (obteniendo el campo de direcciones) … Y de ahí puedo tratar de resolver la ecuación directamente … sería … bueno, podría marcar un punto sobre el plano y encontrar la solución para ese respectivo punto. Y como hay existencia y unicidad solo me da una curva … sería A y ahí está … (obteniendo una solución particular en el campo de direcciones).
Llegado a este punto, el estudiante lograr recordar cómo funciona la ruta gráfica. De manera que para el ejercicio a), es capaz de determinar analíticamente tanto los lugares geométricos donde aparecen los extremos y los puntos de inflexión de las soluciones, como dividir el plano en subconjuntos de acuerdo con la monotonía y concavidad de las soluciones. Además, demuestra eficiencia en el uso de GeoGebra para visualizar y tratar con esos subconjuntos. Coordinando todo ello junto con el conocimiento de que y(x)=sen(x)-cos(x) es una solución particular de la ecuación a), y las consecuencias geométricas de los teoremas de existencia y unicidad, es capaz de obtener un diagrama de soluciones dinámico (a partir del movimiento del deslizador de GeoGebra):
I: ¿Dónde están apareciendo los extremos de las soluciones?
E1: Sí, aparecen exactamente en … esta curva y=2sen(x) … Esta es la curva que contiene los extremos … (agregando una curva azul a la representación anterior que muestra una solución particular en el campo de direcciones).
I: Y esa curva, evidentemente, divide al plano en dos partes: una dónde el campo dependiente es positivo (2sen(x)-y>0), es decir, donde las curvas son crecientes y otra dónde el campo es negativo (2sen(x)-y<0), y las curvas son decrecientes, ¿verdad? Y esos subconjuntos puede dibujarlos y colorearlos en GeoGebra.
E1: Creo que eso se puede hacer directamente en GeoGebra … esto me da la región donde es negativa y en este otro caso serían crecientes … (agregando las zonas de color acuerdo con el signo de la derivada a la representación anterior que muestra la curva azul y una solución particular en el campo de direcciones).
I: ¿Y de los puntos de inflexión que podemos decir?
E1: La segunda derivada sería … al derivar esto respecto de x … sería esta la segunda derivada 
Al final sería, simplificando, 
sería la segunda derivada.
E1: Y para encontrar los puntos de inflexión … igualamos a cero … y obtenemos la curva y=2 (sen(x)-cos(x)). Y este sería el lugar geométrico de los puntos de inflexión (dibujando la fórmula obtenida, agregando zonas de color acuerdo con el signo de la segunda derivada y moviendo el deslizador para verificar que donde las soluciones cortan a esta curva se observan cambios de concavidad).
E1: Sí, aquí en esta zona son cóncavas hacia abajo y en esta otra, son cóncavas hacia arriba ...
Una vez que el estudiante ha recordado las operaciones requeridas por la ruta gráfica y las ha aplicado al ejercicio a), es capaz de aplicarla con eficiencia para representar los diagramas de soluciones de los ejercicios b) y d), sin necesidad de resolver las EDOPO. Sin embargo, se observa dificultades para argumentar por qué aparecen los distintos tipos de curvas que se muestran en el diagrama de soluciones. En el ejercicio b expresa:
E1: Digamos que hay como tres tipos de curvas: serían las que están … como que parece que siempre son como cóncavas hacia arriba, las que son siempre cóncavas hacia abajo, y estas que están como en medio, que varían su comportamiento, pero como que este, el límite sería como que la solución se va a cero.
También, se observan dificultades para reconocer la existencia de algún tipo de simetría en el conjunto de soluciones a partir del diagrama de soluciones o usar GeoGebra para verificar si hay o no tales simetrías. Por ejemplo, en el ejercicio b se registra:
I: ¿Hay alguna simetría entre esas curvas (haciendo referencia al diagrama de soluciones del ejercicio b)?
E1: Creo que sí, respecto del eje x … respecto de y = x, tal vez, creo que sí se podría ver alguna simetría. Pero no sé si son las de abajo … creo que las que están en medio podrían ser impares, tal vez ...
También se observa que no es capaz de verificar analíticamente si hay o no hay simetría en el conjunto de soluciones en los ejercicios b) y d):
I: ¿Cómo puede establecer que hay simetría impar a partir de la ecuación?
E1: Solo de la ecuación …, pues, sería a través de evaluar en menos equis … bueno, al evaluar en menos x, quedaría -dy/dx=y2+xy
I: ¿Qué cambio de variables debería de hacer para establecer la simetría respecto al origen?
E1: Eso sí sería de verlo …
I: ¿Se le viene algo la memoria?
E1: Es que … yo pensaba que … a ver … permítame …
Y en ejercicio d, señala:
E1: Sería con x igual, bueno, cambiando por menos x …por regla de la cadena quedaría -dy/dx=-xe-y… al final es lo mismo …
Discusión
La resolución de los cuatro ejercicios y la argumentación correspondiente durante la entrevista revela que el enfoque algebraico se evoca automáticamente en la memoria de largo plazo del estudiante, mientras que el enfoque gráfico no.
Sin embargo, en la entrevista se observa la presencia de dificultades operacionales al intentar describir gráficamente las soluciones basadas en la fórmula de la solución general. El uso de GeoGebra ayuda a superar algunas de estas dificultades, pero persisten dificultades conceptuales relacionadas al teorema fundamental del cálculo.
Por tanto, en una primera aproximación, se puede concluir que la ruta algebraica no se ha consolidado con la implementación de la secuencia de aprendizaje ad hoc, ni mucho menos el enfoque gráfico-algebraico. Esto coincide con lo que reporta Habre (2000, 2003) donde señala que el impacto del currículo reformado de las ecuaciones deferenciales ordinarias en el pensamiento y las habilidades de los estudiantes puede ser mínimo y que el conocimiento conceptual puede permanecer fuertemente ligado esquemas algebraicos.
De acuerdo con la Teoría Acción, Proceso, Objeto, Esquema (APOE) (Arnon et al., 2014), se puede afirmar que el esquema del estudiante sobre el concepto solución de una EDOPO se caracteriza por el predominio de acciones y procesos subordinados al modo de pensamiento algebraico y algorítmico.
Ello posiblemente está condicionado por el significado diacrónico, asociado al enfoque algebraico y algorítmico, que tiene la consigna “resolver”, a lo largo del desarrollo del currículo de matemáticas, desde los niveles elementales hasta el nivel superior. Pero esto también cuestiona uno de los objetivos de la unidad de aprendizaje que pretendía enriquecer el significado del término “resolver” al incluir acciones y procesos de la ruta gráfica. De otra manera, ello sugiere la necesidad de utilizar consignas más precisas que movilicen las acciones requeridas en la ruta gráfica.
No obstante, durante la entrevista, la interacción con el investigador y la reflexión permiten al estudiante recuperar el enfoque gráfico en su memoria de largo plazo. Esto le permite establecer, no sin dificultades, conexiones cognitivas entre las rutas algebraica y gráfica, analizar propiedades cualitativas de las soluciones y utilizar GeoGebra eficientemente para visualizar lugares geométricos de interés (donde aparecen los extremos, los puntos de inflexión, soluciones particulares, zonas de monotonía y concavidad) y obtener un diagrama de soluciones dinámico (a partir del movimiento del deslizador de GeoGebra).
Sin embargo, persisten dificultades conceptuales para argumentar por qué aparecen distintos tipos de curvas en el diagrama de soluciones y dificultades operacionales para reconocer en el diagrama de soluciones la existencia de algún tipo de simetría en el conjunto de soluciones o para usar GeoGebra como herramienta para evidenciar tales simetrías. En particular, el estudiante no es capaz de realizar un cambio de variables para verificar o probar analíticamente si hay o no determinada simetría en el conjunto de soluciones.
Conclusión
La discusión señala que hay indicios para afirmar que el estudiante ha logrado desarrollar un incipiente esquema gráfico-algebraico del concepto de solución de una EDOPO, pero este esquema no se ha logrado consolidar como un objeto, puesto que la aplicación del esquema se limita a realizar las acciones y procesos que las rutas gráfica y algebraica demanda con conexiones débiles entre ellas. La latencia de la ruta gráfica en el esquema del estudiante indica que hay un predominio de la ruta algebraica, por una parte, y que es necesario cambiar la consigna “resolver” por otras más precisas que conecten con las acciones y procesos que demanda la ruta gráfica, por otra.
Además, dicho esquema gráfico-algebraico se puede caracterizar como débil puesto que, al tratar de establecer conexiones entre las rutas algebraica y gráfica, se logran evidenciar tanto dificultades operacionales y conceptuales que bloquean dichas conexiones, como la falta de razonamientos matemáticos que permitan justificar por qué aparecen determinados comportamientos en las soluciones, ya sea de manera algebraica o gráfica.
Las producciones del estudiante durante la entrevista ponen de manifiesto que el enfoque de la secuencia de aprendizaje es plausible y permite enriquecer el enfoque, el contenido y la metodología del proceso de enseñanza-aprendizaje de las EDOPO, al invitar al estudiantado a coordinar las rutas algebraica y gráfica y a hacer un uso instrumental del software GeoGebra para investigar propiedades y comportamiento cualitativo de las soluciones, así como para desarrollar su competencia discursiva para explicar, argumentar y justificar sus producciones. Este enfoque gráfico-algebraico, además, tiene el valor añadido de ampliar y acomodar el “esquema grafico-algebraico para construir la gráfica de una función” heredado del cálculo diferencial e integral y facilitar el tránsito hacia el estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y no lineales en el plano fase.
Referencias
Arnon, I., Cottrill, J., Dubinsky, E., Oktac, A., Roa Fuentes, S., Trigueros, M. & Weller, K. (2014). APOS Theory: A framework for research and curriculum development in mathematics education. Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-7966-6
Arslan, S. (2010a). Do students really understand what an ordinary differential equation is? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 41(7), 873-888. https://doi.org/10.1080/0020739X.2010.486448
Arslan, S. (2010b). Traditional instruction of differential equations and conceptual learning. Teaching Mathematics and its Applications: An International Journal of the IMA, 29(2), 94-107. https://doi.org/10.1093/teamat/hrq001
Buendía, G. & Cordero, F. (2013). The use of graphs in specific situations of the initial conditions of linear differential equations. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 44(6), 927-937. https://doi.org/10.1080/0020739X.2013.790501
Diković , L. (2009a). Implementing dynamic mathematics resources with GeoGebra at the college level. International Journal of Emerging Technologies in Learning (iJET), 4(3), 51-54. https://www.learntechlib.org/p/45282/
Diković , L. (2009b). Applications GeoGebra into teaching some topics of mathematics at the college level. Computer Science and Information Systems, 6(2), 191-203. https://doi.org/10.2298/CSIS0902191D
Guerra Cáceres, M. E. (2022). Conocimientos previos y GeoGebra en la enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones diferenciales ordinarias. REDISED: Revista Diálogo Interdisciplinario sobre Educación, 4(2), 121-134. https://revistas.ues.edu.sv/index.php/redised/article/view/2783/2768
Habre, S. (2000). Exploring students’ strategies to solve ordinary differential equations in a reformed setting. The Journal of Mathematical Behavior, 18(4), 455–472. https://doi.org/10.1016/S0732-3123(00)00024-9
Habre, S. (2003). Investigating students’ approval of a geometrical approach to differential equations and their solutions. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34(5), 651–662. https://doi.org/10.1080/0020739031000148912
Hyland, D., van Kampen, P. & Nolan, B. (2021). Introducing direction fields to students learning ordinary differential equations (ODEs) through guided inquiry. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 52(3), 331-348. https://doi.org/10.1080/0020739X.2019.1670367
Kouki, R. & Griffiths, B. (2021). Semiotic aspects of differential equations: analytical and graphical competency in the USA and Tunisia. African Journal of Research in Mathematics, Science and Technology Education, 25(2), 174-184. https://doi.org/10.1080/18117295.2021.2003135
Orts, A., Boigues, F. J. & Llinares, S. (2018). Génesis instrumental del concepto de recta tangente. 20(2), 78-95. https://doi.org/10.17648/acta.scientiae.v20iss2id3833
Raychaudhuri, D. (2013). A framework to categorize students as learners based on their cognitive practices while learning differential equations and related concepts. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 44(8), 1239-1256. https://doi.org/10.1080/0020739X.2013.770093
Raychaudhuri, D. (2014). Adaptation and extension of the framework of reducing abstraction in the case of differential equations. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 45(1), 35-57. https://doi.org/10.1080/0020739X.2013.790503
Trouche, L., Gueudet, G. & Pepin, B. (2018). Documentational Approach to Didactics. In S. Lerman (Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education (pp. 1-11). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-77487-9_100011-1
West, B. H. (2016). Teaching Differential Equations without Computer Graphics Solutions is a Crime. CODEE Journal, 11, 1-19. https://scholarship.claremont.edu/codee/vol11/iss1/2
Martín Enrique Guerra Cáceres
Es estudiante de Doctorado en Educación, con Maestría en Matemáticas, Maestría en Innovación de la Educación Superior y Licenciado en Matemática. Profesor en la Escuela de Matemática de la Universidad de El Salvador.
Financiamiento de la investigación
Con recursos propios.
Declaración de intereses
Declara no tener ningún conflicto de intereses, que puedan haber influido en los resultados obtenidos o las interpretaciones propuestas.
Declaración de consentimiento informado
El estudio se realizó respetando el Código de ética y buenas prácticas editoriales de publicación.
Copyright© 2024 por Martín Enrique Guerra Cáceres.
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